iPad Proにて再現を試みました。
しかしながらカーソルは正常に移り、別アプリからフォーカスを切り替えて文字入力が出来ました。
気になったのは、ChromeなどからInkdropのエディタ部へフォーカスを移す際に長押しが必要だった事です。
Yugさんとの環境の違いは、ソフトウェアキーボードで動作確認した事です。
ハードウェアキーボードでのみ発生する現象の可能性があり、その場合はiOS側の問題の可能性が高そうです。
その状態で、別アプリの方のカーソルは消えて、見た目にはフォーカスが移ったように見えるという事でしょうか。
なかなか興味深い現象ですね。
iOSはWebViewのcontenteditable属性のついた入力欄の取り扱いが甘いのかもしれません。
そうなると根本解決法として考えられるのは、WebViewベースのエディタ実装を捨ててネイティブ実装に切り替える事でしょう。
WebViewベースの実装にはこの他にもパフォーマンス面やAndroidで沢山問題を抱えている状況です。
前向きに検討しているところですが、解決には時間がかかる事をご了承ください。